পার্থক্য সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান ক্লাসটি “গণিত- ২ [ Mathematics – 2 ]” এর ৭তম অধ্যায় [ Chapter 7 ] এর অংশ। এই ক্লাসটি “অটোমোবাইল টেকনোলজি [ Automobile Technology ]” কোর্সের [Course] যা “২য় সেমিস্টার [ 2nd Semester ] এর “গণিত- ২ [ Mathematics – 2 ]” এ পড়ানো হয়।
পার্থক্য সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান
পার্থক্য, গণিতে, একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ বা পরিবর্তনের হার খোঁজার প্রক্রিয়া। এর পিছনের তত্ত্বের বিমূর্ত প্রকৃতির বিপরীতে, তিনটি মৌলিক ডেরিভেটিভস, চারটি ক্রিয়াকলাপের নিয়ম, এবং কীভাবে ফাংশনগুলিকে ম্যানিপুলেট করতে হয় সে সম্পর্কে জ্ঞান ব্যবহার করে বিশুদ্ধভাবে বীজগণিতিক ম্যানিপুলেশনের মাধ্যমে পার্থক্যের ব্যবহারিক কৌশলটি করা যেতে পারে।
তিনটি মৌলিক ডেরিভেটিভ (D) হল: (1) বীজগাণিতিক ফাংশনের জন্য, D(xn) = nxn − 1, যার মধ্যে n হল যেকোনো বাস্তব সংখ্যা; (2) ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য, D(sin x) = cos x এবং D(cos x) = −sin x; এবং (3) সূচকীয় ফাংশনের জন্য, D(ex) = ex.
ফাংশনের এই শ্রেণীর সমন্বয়ে গঠিত ফাংশনগুলির জন্য, তত্ত্বটি f(x) এবং g(x) যেকোন দুটি ফাংশনের যোগফল, গুণফল বা ভাগফলকে আলাদা করার জন্য নিম্নলিখিত মৌলিক নিয়মগুলি প্রদান করে যার ডেরিভেটিভগুলি পরিচিত (যেখানে একটি এবং b হল ধ্রুবক): D(af + bg) = aDf + bDg (সমস্য); D(fg) = fDg + gDf (পণ্য); এবং D(f/g) = (gDf − fDg)/g2 (ভাগফল)।
অন্য মৌলিক নিয়ম, যাকে চেইন নিয়ম বলা হয়, একটি যৌগিক ফাংশনকে আলাদা করার উপায় প্রদান করে। যদি f(x) এবং g(x) দুটি ফাংশন হয়, তাহলে যৌগিক ফাংশন f(g(x)) x এর মানের জন্য গণনা করা হয় প্রথমে g(x) মূল্যায়ন করে এবং তারপর f ফাংশনটিকে g(এর এই মানটিতে মূল্যায়ন করে। এক্স); উদাহরণস্বরূপ, যদি f(x) = sin x এবং g(x) = x2, তাহলে f(g(x)) = sin x2, যখন g(f(x)) = (sin x)2।
চেইন নিয়ম বলে যে একটি যৌগিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ একটি পণ্য দ্বারা দেওয়া হয়, যেমন D(f(g(x))) = Df(g(x)) ∙ Dg(x)। কথায়, ডানদিকের প্রথম ফ্যাক্টর, Df(g(x)), নির্দেশ করে যে Df(x) এর ডেরিভেটিভটি প্রথমে যথারীতি পাওয়া যায় এবং তারপর x, যেখানেই এটি ঘটবে, g(x) ফাংশন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। . sin x2 এর উদাহরণে, নিয়মটি D(sin x2) = Dsin(x2) ∙ D(x2) = (cos x2) ∙ 2x ফলাফল দেয়।
জার্মান গণিতবিদ গটফ্রিড উইলহেম লিবনিজের স্বরলিপিতে, যা D-এর জায়গায় d/dx ব্যবহার করে এবং এইভাবে বিভিন্ন ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে পার্থক্যকে সুস্পষ্ট করার অনুমতি দেয়, চেইন নিয়মটি আরও স্মরণীয় “প্রতীকী বাতিলকরণ” ফর্ম নেয়: d(f(g(x)))/dx = df/dg ∙ dg/dx.
পার্থক্য সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান নিয়ে বিস্তারিত ঃ
আরও দেখুন :